纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是五种比较松散的数据行态。它有一点节点(vertice),在一点节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也再次出现 过,亲戚亲戚想要们通常在节点中储存数据。边表示一有有好几个 节点之间的所处关系。在树中,亲戚亲戚想要们用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是五种特殊的图,但限制性更强一点。

从前的五种数据行态是很常见的。比如计算机网络,我希望由一点节点(计算机或者 路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也还要理解为图,地铁站还要认为是节点。基于图有一点经典的算法,比如求图中一有有好几个 节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥什么的问题(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市包含十根河流过,河包含一有有好几个 小岛。有七座桥桥连接河的两岸和一有有好几个 小岛。送信员总想知道,有越来越一有有好几个 最好的办法,能不重复的走过7个桥呢?

(一点什么的问题在一点奥数教材中称为"一笔画"什么的问题)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的还要看作由7个边和一有有好几个 节点构成的一有有好几个 图:

一点什么的问题最终被欧拉巧妙的防止。七桥什么的问题也启发了一门新的数应学 科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,或者 某个节点有无起点或者 终点,越来越连接它的边的数目还要为偶数个(从一有有好几个 桥进入,再从从前桥抛妻弃子)。对于柯尼斯堡的七桥,或者 一有有好几个 节点都为奇数个桥,而最多可不后能 可不后能 有一有有好几个 节点为起点和终点,只是不或者 一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。一有有好几个 图的所有节点构成一有有好几个 集合[$V$]。一有有好几个 边还要表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即一有有好几个 节点。或者 [$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,越来越图是有向的(directed)。有序的边还要理解为单行道,可不后能 可不后能 沿一有有好几个 方向行进。或者 [$(v_1, v_2)$]无序,越来越图是无向的(undirected)。无序的边还要理解成双向还要行进的道路。一有有好几个 无序的边还要看作连接相同节点的一有有好几个 反向的有序边,只是无向图还要理解为有向图的五种特殊请况。

(七桥什么的问题中的图是无向的。城市中的公交线路还只是无向的,比如所处单向环线)

图的一有有好几个 路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也我希望说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为一有有好几个 节点。路径上面的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,亲戚亲戚想要们会在选泽某个路径,来从A站到达B站。从前的路径或者 有不止十根,亲戚亲戚想要们往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤请况,来选泽十根最佳的路线。或者 所处十根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,越来越认为该图中所处环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中所处环路。

 

找到十根环路

或者 从每个节点,到任意一有有好几个 其它的节点,有无十根路径得话,越来越图是连通的(connected)。对于一有有好几个 有向图来说,从前的连通称为强连通(strongly connected)。或者 一有有好几个 有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,越来越认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

或者 将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,从前的图或者 是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间越来越路径相连。

图的实现

五种简单的实现图的最好的办法是使用二维数组。让数组a的每一行为一有有好几个 节点,该行的不同元素表示该节点与一点节点的连接关系。或者 [$(u, v) \in E$],越来越a[u][v]记为1,或者 为0。比如下面的一有有好几个 包含一有有好几个 节点的图:

 

还要简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

一点实现最好的办法所所处的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而越来越来越快增多。或者 边有无很密集,越来越只是数组元素记为0,可不后能 可不后能 稀疏的一点数组元素记为1,只是暂且是很经济。

更经济的实现最好的办法是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,亲戚亲戚想要们建立一有有好几个 链表。对于任意节点k,或者 有[$(m, k) \in E$],就将该节点塞进到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准最好的办法。比如下面的图,

 

还要用如下的数据行态实现:

 

左侧为一有有好几个 数组,每个数组元素代表一有有好几个 节点,且指向一有有好几个 链表。该链表包包含该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表还要分为两偏离 。邻接表所所处的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组偏离 储存节点信息,所处[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,所处[$|E|$]的空间,即边的总数。在一点多样化的什么的问题中,定点和边还或者 有一点的附加信息,亲戚亲戚想要们还要将一点附加信息储所处相应的节点或者 边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

上面的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是五种很简单的数据行态。图的组织最好的办法比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法多样化度。我将在以前介绍一点图的经典算法。

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据行态”系列